保健師でも医師でもない企業内の担当者が、従業員の健診結果を集めても大丈夫ですか。

担当者は、衛生管理者資格を持っていると望ましいと言えますが、資格がない担当者でも問題はありません。
産業医が健診結果の振り分け判定基準を定め、その基準に沿って健康診断結果を振り分けや並べ替えを行った上で、産業医に判定を依頼するとスムーズに健康診断事後措置を行うことができます。