要受診の従業員に対して、受診した際に受診記録を提出してもらおうと考えています。 会社としてどのようなアプローチで従業員に対し提出を求めるべきか判断に迷っています。

医療機関の再受診結果については労働者に提出義務はありません。
しかし、健康診断事後措置の中で産業医からの意見聴取を実施し、産業医より受診が必要との意見があった場合には、健康に働き続けてもらうための受診勧奨としてご本人に通知した上で、受診結果を提出していただくことが望ましでしょう。
強制という形で提出を求めるのではなく、受診勧奨をしても受診しない従業員については、産業医に相談して面談をセッティングする等の対応を検討すべきと言えます。
緊急性の高い受診勧奨については、あらかじめ産業医に確認の上対応するのが良いでしょう。
企業によっては、再受診についてやその後の受診結果の取り扱いについて等を就業規則などの規定に定めている場合もあるようです。