衛生委員会の委員長は、労働者の代表の推薦でなく、事業者が指名する手続で問題ありませんか。

事業者からの指名選任で問題ありません。
委員長については、人事部長や総務部長等の所属長レベルが望まれますので、比較的スムーズに決定することができると思います。